伪谱法与重心插值

发表于 2026-07-09 更新于 2026-07-22 分类于 trajectory optimization

伪谱法简述

伪谱法（Pseudospectral Method）是一类用于数值求解最优控制问题的直接配点方法。它在一组非均匀节点上，用全局多项式近似状态量和控制量，并通过微分矩阵将连续动力学约束转化为有限维代数约束，最终形成非线性规划问题。

常见节点包括 Legendre-Gauss（LG）、Legendre-Gauss-Lobatto（LGL）、Legendre-Gauss-Radau（LGR）和 Chebyshev-Gauss-Lobatto（CGL）节点。不同节点是否包含区间端点，以及相应积分权重和微分矩阵的构造方式并不相同。

本文仅记录基础概念，不讨论具体算法实现、算例或毕业论文相关研究内容。伪谱法部分的学习参考见文末链接。

设有互异节点 \(x_0,x_1,\ldots,x_n\) 及对应函数值 \(f_0,f_1,\ldots,f_n\)。定义重心权重

\[ \lambda_j=\left[\prod_{k\ne j}(x_j-x_k)\right]^{-1}, \qquad j=0,1,\ldots,n. \]

当 \(x\ne x_j\) 时，插值多项式可写为

\[ p(x)= \frac{\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\frac{\lambda_j}{x-x_j}f_j} {\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\frac{\lambda_j}{x-x_j}}. \]

当 \(x=x_j\) 时，直接取 \(p(x_j)=f_j\)。这种写法避免了逐项展开拉格朗日基函数，便于数值计算。

在配点法中，节点处的一阶导数可以用微分矩阵 \(D\) 近似。其元素为

\[ D_{ij}=\frac{\lambda_j}{\lambda_i(x_i-x_j)}, \qquad i\ne j, \]

而对角元素由每行元素之和为零得到：

\[ D_{ii}=-\sum_{j\ne i}D_{ij}. \]

因此，若 \(\mathbf f=[f_0,f_1,\ldots,f_n]^\mathsf{T}\)，则节点处的导数可近似写为 \(\mathbf f'\approx D\mathbf f\)。这也是插值与伪谱离散之间的一个基本联系。

Berrut, J.-P., & Trefethen, L. N. (2004). Barycentric Lagrange Interpolation. SIAM Review, 46(3), 501–517.
雷烈：数值法求解最优控制问题（四）——伪谱法，2022-07-07。本文仅参考其概念说明，未转载其中的图片与代码。